Valores maximos y minimos

Definicion
< , > : como menor igual

Unoa funcion de dos variables tiene un maximo local en (a,b) si F(x,y)<> F(amb) cuando (x,y) esta cerca de (a,b) entonces F(a,b) es un valor minimo local.

esto quiere decir que la funcion va a tener forma de parabola cuando sea valor maximo o minimo va a ser un punto critico entonces el teorema dice

Teorema:

si F tiene un maximo o minimo local en (a,b) y las derivadas parciales de primer orden de F existen ahi , entonces Fx(a,b) = 0 y Fy(a,b) = 0

La demostracion no es complicada

sea G(x) = F(x,b) si F tiene un maximo local (o minimo) en (a,b) entonces G tiene un maximo local (o minimo) en a , de modo que , por el teorema de Fermat. G'(a) = a pero G'(a) = Fx(a,b) y por tanto Fx(a,b) = 0 analogamente por aplicacion del teorema de Fermat a la funcion G(y) = F(a,y) , obtenemos Fy(a,b) = 0

bueno haciendola mas facil

El vector gradiente tiene que ser igual a 0


SUponga que las segundas derivadas parciales de F son continuas en un disco con centro (a,b) suponga que Fx(a,b) = 0 y Fy(a,b) = 0 entonces (a,b) es un punto critico de F bueno y sea

D = D(a,b) = Fxx(a,b) Fyy(a,b) - (Fxy(a,b) ) (Fxy(a,b))

A) si D>0 y Fxx(a,b)>0 entonces F(a,b) es un minimo local
B) si F>0 y Fxx(a,b)<0 entonces F(a,b) es un maximo local
C) si D < 0 , entonces F(a,b) no es ni un maximo ni un minimo local ( se llama punto de ensilladura de F)

TEOREMA del valor extremo para funciones de dos variables
Si F es continua en un conjunto D, cerrado y acotado en R2, entonces F alcanza sus valores macimos absolutos en F(x1,y1) y minimo absoluto , F(x2,y2) en ciertos puntos (x1,y1) (x2,y2)
en D.


La forma de hacerlo es buscando en todos los punto criticos, evaluarlos, el mas grande es el maximo absoluto y el mas chico el minimo absoluto.

Planos tangentes a superficies de nivel

si la superficie con ecuacion F(x,y,z) = k es una superficie de nivel de 3 variables y sea P un punto de la superficie , C cualquier curva de la superficie que pase por el punto P
C = r(t)= (x(t), y(t), z(t)) t0 el valor del parametro correspondiente a P: entonces r(t0) = (x0,y0,z0) como C esta en la superficie todo punto (X(t), y(t) , z(t)) debe satisfacer la ecuacion de la superficie

F(x(t), y(t), z(t)) = k

entonces si x ,y y z son diferenciables se puede aplicar la regla de la cadena y queda de diez

y quedaria el vector gradiente por r'(t) = 0 para que sea un plano tangente

gradF . r'(t) = 0

entonces si t = t0

quedaria r(t0) = (x0,y0,z0)

y para el plano

gradF(x0,y0,z0) . r'(t0) = 0

traducido diriamos que el plano tangente a la superficie de nivel

F(x,y,z)=k en p(x0,y0,z0) osea que lo va a tocar en un solo punto en P y tiene como vector normal el plano gradiente de F (x0,y0,z0)


La ecuacion del plano queda

Fx(x0,y0,z0) (x-x0)+Fy(x0,y0,z0) (y-y0)+Fz(x0,y0,z0) (z-z0) = 0


La direccion de la recta normal esta dada por el vector gradiente de F en (x0,y0,z0)


Por consiguiente las ecuaciones simetricas son

x-x0 = y-y0 = z-z0
Fx(x0,y0,z0) Fy(x0,y0,z0) Fz(x0,y0,z0)


y si es de dos variables F(x,y,z) = F(x,y) - z = 0 por que F(x,y) = z entonces lo paso para el otro lado y queda F(x,y)-z = 0

Teoremas y definiciones

Voy a publicar los teoremas y definiciones que me fueron utiles para derivadas multivariables.

-Si F es una funcion de dos variables , sus derivadas parciales son las funciones Fx y Fy defeinidas por


Fx(x,y) = lim F(x+h,y) - F ( x,y)
h->0 h

Fy(x,y) = lim F(x,y+h) - F(x,y)
h->0 h

Esto para hacerlo mas facil quiere decir que cuando se derive para Fx se toma y como constante y se deriva con respecto a x

Por ejemplo para calcular Fx de F(x,y) = 2yx

me queda Fx (x,y) = 2y

y para hacerlo con respecto a y es al revez tomo x como constante y a y como variable.



-El teorema de clairaut que fue elegido el teorema del mes, ya publique su demostracion

-Para calcular la ecuacion de el plano tangente a la superficie de z= F(x,y) en el punto P(a,b,c) es

z-c= Fx(a,b) (x-a) + Fy(a,b) y-b)

-Teorema

Si las derivadas parciales Fx y Fy existen cerca de (a,b) y son continuas en (a,b) entonces F es diferenciable en (a,b).

-El diferencial total

dz = Fx(x,y) dx + Fy(x,y) dy = dz dx + dz dy
dx dy

-Derivada direccional

La derivada direccional de F en (a,b) en la direccion de un vector unitario u = (c,d) es

DuF (a,b) = Lim F(a+hc, y+hd) - F(a,b)
h->0 h

si este limite existe.

si F es diferenciable de x y y e, entonces F tiene una derivada direccional en la q direccion de cualquier vector unitario u= (c,d) y

DuF= Fx(x,y)c + Fy (x,y)d

-Definicion:

Si F es una funcion de dos variables x y y, entonces el gradiente de F es la funcion vectorial gradF definida por

gradF(x,y) = ( Fx(x,y) , Fy(x,y) )


la derivada direccional queda

DuF(x,y) = gradF(x,y) . u

Derivadas direccionales

Esta es la definicion en Gral

La derivada direccional de F en (c,d) en la direccion de un vector unitario u= (a,b) Es:

DuF = derivada direccional en la direcicon del vector unitario U con respecto a F


DuF(c,d) = Lim F(c+ha, d+hb) - F(c,d)
h->0 h

Si este limite existe

Bueno pero se puede expresar de otra manera para eso hay que definir el vector gradiente

Por falta de una buena tabla ascii voy a poner gradiente como grad


gradF(x,y) = (Fx(x,y), Fy(x,y)) = dF i + dF j
dx dy

entonces dice que el gradiente son las derivadas parciales

ahora es mas facil expresar la derivada direccional

de manera DuF(x,y) = grad(x,y) . u

Entonces es la derivada direccional en la direccion de U que tiene que ser un vector unitario
entonces es la proyeccion escalar del vector gracdiente sobre la direccion del vector u.

y Aqui va un posible participante

Teorema

Suponga que F es una funcion diferenciable de dos o tres variables, el maximo valor de la derivada direccional DuF(x) es lgradF(x)l ( por las dudas no confundir que l...l uso como modulo)
y se obtiene cuando la direccion de u coincide con la del vector gradiente gradF(x)


Demostracion

bueno tenemos que DuF = gradF . u = l gradFl lul cos ø = lgrad Fl cos ø

donde ø es el angulo entre grad F y u. el maximo valor de cos ø es 1 cuando ø=0 es decir cuando u tiene la misma direccion que grad F

Es cortita la demostracion y se agradece a el señor Stewart

El favorito del mes de abril

El favorito del mes de abril es

"El teorema de clairaut" para derivadas parciales.

Suponga que F esta definida en un disco D que contiene al punto (a,b) si las funciones Fxy y Fyx son continuas en D entonces

Fxy(a,b) = Fyx(a,b)

Demostracion:

Considero la diferencia para los valores pequeños de h,h = 0



Delta(h) = ( F(a+h,b+h)-F(a+h,b))-(F(a,b+h) - F(a,b))

si dejo g(x) = F(x,b+h)-F(x,b), entonces

Delta(h) = g(a+h) - g(a)

Hay un numrero c entre a y a+h por el teorema del valor medio tal que

g(a+h)-g(a)= g' (c) h = h(Fx(c,b+h)-Fx(c,b))

entonces aplico de nuevo el teorema del valor medio, ahora a Fx, queda un numero d entre b y b+h tal que

Fx(c,b+h)- Fx (c,b) = Fxy (c,d) h

combinando ambas ecuacinoes, tengo

Delt(h) = h²Fxy(c,d)

Si h----> 0 entonces (c,d) --->(a,b), de modo que la continuidad de Fxy en (a,b) da


lim delt(h) = lim Fxy (c,d)= Fxy(a,b)
h->0 h² (c,d)-->(a,b)

De manera si escribo

Delt(h) = (F(a+h,b+h) -F(a,b+h)) - (F(a+h.b)-F(a,b))

aplico el teorema de el valor medio dos veces , la continuidad de Fxy en (a,b) da

lim delt(h) = Fyx(a,b)
h-->0 h²


Entonces queda demostrado que Fxy (a,b) = Fyx(a,b) //

Perfecto.