Derivadas direccionales

Esta es la definicion en Gral

La derivada direccional de F en (c,d) en la direccion de un vector unitario u= (a,b) Es:

DuF = derivada direccional en la direcicon del vector unitario U con respecto a F


DuF(c,d) = Lim F(c+ha, d+hb) - F(c,d)
h->0 h

Si este limite existe

Bueno pero se puede expresar de otra manera para eso hay que definir el vector gradiente

Por falta de una buena tabla ascii voy a poner gradiente como grad


gradF(x,y) = (Fx(x,y), Fy(x,y)) = dF i + dF j
dx dy

entonces dice que el gradiente son las derivadas parciales

ahora es mas facil expresar la derivada direccional

de manera DuF(x,y) = grad(x,y) . u

Entonces es la derivada direccional en la direccion de U que tiene que ser un vector unitario
entonces es la proyeccion escalar del vector gracdiente sobre la direccion del vector u.

y Aqui va un posible participante

Teorema

Suponga que F es una funcion diferenciable de dos o tres variables, el maximo valor de la derivada direccional DuF(x) es lgradF(x)l ( por las dudas no confundir que l...l uso como modulo)
y se obtiene cuando la direccion de u coincide con la del vector gradiente gradF(x)


Demostracion

bueno tenemos que DuF = gradF . u = l gradFl lul cos ø = lgrad Fl cos ø

donde ø es el angulo entre grad F y u. el maximo valor de cos ø es 1 cuando ø=0 es decir cuando u tiene la misma direccion que grad F

Es cortita la demostracion y se agradece a el señor Stewart