El favorito del mes de abril

El favorito del mes de abril es

"El teorema de clairaut" para derivadas parciales.

Suponga que F esta definida en un disco D que contiene al punto (a,b) si las funciones Fxy y Fyx son continuas en D entonces

Fxy(a,b) = Fyx(a,b)

Demostracion:

Considero la diferencia para los valores pequeños de h,h = 0



Delta(h) = ( F(a+h,b+h)-F(a+h,b))-(F(a,b+h) - F(a,b))

si dejo g(x) = F(x,b+h)-F(x,b), entonces

Delta(h) = g(a+h) - g(a)

Hay un numrero c entre a y a+h por el teorema del valor medio tal que

g(a+h)-g(a)= g' (c) h = h(Fx(c,b+h)-Fx(c,b))

entonces aplico de nuevo el teorema del valor medio, ahora a Fx, queda un numero d entre b y b+h tal que

Fx(c,b+h)- Fx (c,b) = Fxy (c,d) h

combinando ambas ecuacinoes, tengo

Delt(h) = h²Fxy(c,d)

Si h----> 0 entonces (c,d) --->(a,b), de modo que la continuidad de Fxy en (a,b) da


lim delt(h) = lim Fxy (c,d)= Fxy(a,b)
h->0 h² (c,d)-->(a,b)

De manera si escribo

Delt(h) = (F(a+h,b+h) -F(a,b+h)) - (F(a+h.b)-F(a,b))

aplico el teorema de el valor medio dos veces , la continuidad de Fxy en (a,b) da

lim delt(h) = Fyx(a,b)
h-->0 h²


Entonces queda demostrado que Fxy (a,b) = Fyx(a,b) //

Perfecto.