Planos tangentes a superficies de nivel

si la superficie con ecuacion F(x,y,z) = k es una superficie de nivel de 3 variables y sea P un punto de la superficie , C cualquier curva de la superficie que pase por el punto P
C = r(t)= (x(t), y(t), z(t)) t0 el valor del parametro correspondiente a P: entonces r(t0) = (x0,y0,z0) como C esta en la superficie todo punto (X(t), y(t) , z(t)) debe satisfacer la ecuacion de la superficie

F(x(t), y(t), z(t)) = k

entonces si x ,y y z son diferenciables se puede aplicar la regla de la cadena y queda de diez

y quedaria el vector gradiente por r'(t) = 0 para que sea un plano tangente

gradF . r'(t) = 0

entonces si t = t0

quedaria r(t0) = (x0,y0,z0)

y para el plano

gradF(x0,y0,z0) . r'(t0) = 0

traducido diriamos que el plano tangente a la superficie de nivel

F(x,y,z)=k en p(x0,y0,z0) osea que lo va a tocar en un solo punto en P y tiene como vector normal el plano gradiente de F (x0,y0,z0)


La ecuacion del plano queda

Fx(x0,y0,z0) (x-x0)+Fy(x0,y0,z0) (y-y0)+Fz(x0,y0,z0) (z-z0) = 0


La direccion de la recta normal esta dada por el vector gradiente de F en (x0,y0,z0)


Por consiguiente las ecuaciones simetricas son

x-x0 = y-y0 = z-z0
Fx(x0,y0,z0) Fy(x0,y0,z0) Fz(x0,y0,z0)


y si es de dos variables F(x,y,z) = F(x,y) - z = 0 por que F(x,y) = z entonces lo paso para el otro lado y queda F(x,y)-z = 0