Teoremas y definiciones

Voy a publicar los teoremas y definiciones que me fueron utiles para derivadas multivariables.

-Si F es una funcion de dos variables , sus derivadas parciales son las funciones Fx y Fy defeinidas por


Fx(x,y) = lim F(x+h,y) - F ( x,y)
h->0 h

Fy(x,y) = lim F(x,y+h) - F(x,y)
h->0 h

Esto para hacerlo mas facil quiere decir que cuando se derive para Fx se toma y como constante y se deriva con respecto a x

Por ejemplo para calcular Fx de F(x,y) = 2yx

me queda Fx (x,y) = 2y

y para hacerlo con respecto a y es al revez tomo x como constante y a y como variable.



-El teorema de clairaut que fue elegido el teorema del mes, ya publique su demostracion

-Para calcular la ecuacion de el plano tangente a la superficie de z= F(x,y) en el punto P(a,b,c) es

z-c= Fx(a,b) (x-a) + Fy(a,b) y-b)

-Teorema

Si las derivadas parciales Fx y Fy existen cerca de (a,b) y son continuas en (a,b) entonces F es diferenciable en (a,b).

-El diferencial total

dz = Fx(x,y) dx + Fy(x,y) dy = dz dx + dz dy
dx dy

-Derivada direccional

La derivada direccional de F en (a,b) en la direccion de un vector unitario u = (c,d) es

DuF (a,b) = Lim F(a+hc, y+hd) - F(a,b)
h->0 h

si este limite existe.

si F es diferenciable de x y y e, entonces F tiene una derivada direccional en la q direccion de cualquier vector unitario u= (c,d) y

DuF= Fx(x,y)c + Fy (x,y)d

-Definicion:

Si F es una funcion de dos variables x y y, entonces el gradiente de F es la funcion vectorial gradF definida por

gradF(x,y) = ( Fx(x,y) , Fy(x,y) )


la derivada direccional queda

DuF(x,y) = gradF(x,y) . u