Definicion
< , > : como menor igual
Unoa funcion de dos variables tiene un maximo local en (a,b) si F(x,y)<> F(amb) cuando (x,y) esta cerca de (a,b) entonces F(a,b) es un valor minimo local.
esto quiere decir que la funcion va a tener forma de parabola cuando sea valor maximo o minimo va a ser un punto critico entonces el teorema dice
Teorema:
si F tiene un maximo o minimo local en (a,b) y las derivadas parciales de primer orden de F existen ahi , entonces Fx(a,b) = 0 y Fy(a,b) = 0
La demostracion no es complicada
sea G(x) = F(x,b) si F tiene un maximo local (o minimo) en (a,b) entonces G tiene un maximo local (o minimo) en a , de modo que , por el teorema de Fermat. G'(a) = a pero G'(a) = Fx(a,b) y por tanto Fx(a,b) = 0 analogamente por aplicacion del teorema de Fermat a la funcion G(y) = F(a,y) , obtenemos Fy(a,b) = 0
bueno haciendola mas facil
El vector gradiente tiene que ser igual a 0
SUponga que las segundas derivadas parciales de F son continuas en un disco con centro (a,b) suponga que Fx(a,b) = 0 y Fy(a,b) = 0 entonces (a,b) es un punto critico de F bueno y sea
D = D(a,b) = Fxx(a,b) Fyy(a,b) - (Fxy(a,b) ) (Fxy(a,b))
A) si D>0 y Fxx(a,b)>0 entonces F(a,b) es un minimo local
B) si F>0 y Fxx(a,b)<0 entonces F(a,b) es un maximo local
C) si D < 0 , entonces F(a,b) no es ni un maximo ni un minimo local ( se llama punto de ensilladura de F)
TEOREMA del valor extremo para funciones de dos variables
Si F es continua en un conjunto D, cerrado y acotado en R2, entonces F alcanza sus valores macimos absolutos en F(x1,y1) y minimo absoluto , F(x2,y2) en ciertos puntos (x1,y1) (x2,y2)
en D.
La forma de hacerlo es buscando en todos los punto criticos, evaluarlos, el mas grande es el maximo absoluto y el mas chico el minimo absoluto.
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2 comentarios:
La verdad que es un excelente espacio no solo de difusión del cálculo diferencial si no también como una manera de corroborar el conocimiento de uno respecto a los cursos de análisis 3, matemática 3 o cálculo infinitesimal en general. Sería importante, a mi modestísimo parecer, que incluyas información acerca de funciones elementales de una variable junto con sus respectivos teoremas, de modo que sirva a los lectores legos en el Cálculo diferencial de manual propedéutico.
Un gusto encontrar lugares como este y seguirás teniendo visitas de mi parte.
Francis Stoned.
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